Det betyder att Arsenal ännu inte har förlorat den här säsongen, efter fem vinster och två oavgjorda matcher.
Arsenal gjorde första målet. Bukayo Saka slog till, redan i 17:e minuten.
Laget gjorde också 0-2 alldeles före halvtidspausen, genom Martin Ödegaard på straff. Direkt efter pausen nätade Kai Havertz på straff och ökade Arsenals ledning.
Till slut kom också 0-4 genom Benjamin White som ökade Arsenals ledning i 90:e minuten. Det fastställde slutresultatet till 0-4.
Bournemouth ligger på 18:e plats i tabellen efter matchen, medan Arsenal ligger på tredje plats.
Nästa motstånd för Bournemouth är Everton. Lagen möts lördag 7 oktober 16.00 på Goodison Park. Arsenal tar sig an Manchester City hemma söndag 8 oktober 17.30.