Första halvlek blev mållös, men efter pausen slog Jay Rodriguez till på straff och gav Burnley ledningen.
West Ham kvitterade till 1-1 i 86:e minuten.
Det matchavgörande målet kom på övertid, när Tomas Soucek slog till och gjorde 1-2 för West Ham. Soucek fullbordade därmed lagets vändning.
Det här var Burnleys tredje uddamålsförlust den här säsongen. Det var även West Hams tredje uddamålsseger.
Resultatet betyder att båda lagen har oförändrad position i tabellen, Burnley på 20:e och sista plats och West Ham på nionde plats.
I nästa omgång har Burnley Sheffield United hemma, lördag 2 december 16.00. West Ham spelar hemma mot Crystal Palace söndag 3 december 15.00.
