Det första var jämnt men 19-åringen knep det längsta strået och vann med 7–5.
I det andra visade den 27-rankade Rune var skåpet skulle stå. Rune vann med 6–2 och saken var klar.
Klicka här för att följa oss på Google— Jag spelade väldigt bra. I början handlar det om att finna rytmen och Thiago har spelat bra tennis på slutet så det var väldigt jämnt. Jag sade åt mig själv att fortsätta att tro på det och att jag kommer hitta mitt spel. Det gjorde jag i andra setet så jag är supernöjd över min prestation, säger han i SVT:s sändning.
För Holger Rune väntar chilenaren Cristian Garin i nästa omgång.
Svenskhoppet Mikael Ymer går in i turneringen på tisdagskvällen. Han möter fransmannen Quentin Halys. Efter Ymer spelar Leo Borg mot regerande mästaren Tommy Paul, USA.
