Inget av lagen lyckades göra mål under första halvlek, men efter pausen slog Oihan Sancet till och gav Atlethic Bilbao ledningen.
I den 72:a minuten kvitterade Karim Benzema för Real Madrid på straff. 1-1-målet blev matchens sista.
Det här var Real Madrids sjätte oavgjorda match den här säsongen.
Resultaten i sista omgången betyder att Real Madrid slutar på andra plats i tabellen, och Atlethic Bilbao på åttonde plats.