"Jag ber er att utfärda en stridsorder före klockan 00 den 10 maj angående överföringen av positionerna för Wagners paramilitära enheter i Bachmut och dess periferi, till enheterna i Achmatbataljonen", skriver Prigozjin i ett brev till ryske försvarsministern Sergej Sjojgu.
Achmatbataljonen refererar till de tjetjenska stridsförbanden under ledning av Kadyrov, som har styrt Tjetjenien i drygt 15 år.
Kadyrov skrev i fredags på Telegram att hans soldater är "beredda att avancera i och ockupera staden".
Samtidigt berömde han Wagner-gruppen och sade att de båda styrkorna har kämpat sida vid sida i de "svåraste" striderna i Popasna, Lysytjansk och Sievjerodonetsk.
Prigozjin ska ha tackat Kadyrov för hans erbjudande i ett meddelande på lördagen och sade att de tjetjeniska styrkorna "utan tvekan" skulle erövra Bachmut.
Prigozjin ställde i veckan ultimatum till den ryska ledningen: Wagner-styrkorna lämnar Bachmut om man inte får mer resurser. Han anklagar Rysslands försvarsdepartement för att endast ha levererat drygt 30 procent av den nödvändiga ammunitionen sedan i höstas.
Wagner-styrkorna strider parallellt med Rysslands vanliga militär i Ukraina och Prigozjins legosoldater leder striden om Bachmut.
