Staden ligger omkring fyra mil från Ukrainas gräns.
"Rysk luftvärnsutrustning upptäckte den ukrainska roboten och stoppade den i luften", lyder departementets uttalande.
Resterna av roboten ska ha fallit över Taganrog.
Samtidigt anklagar Ryssland Kiev för att genomfört "en terrorattack".
Åtminstone 15 personer uppges ha skadats i händelsen, enligt den regionala direktören.
"Räddningstjänsten är på plats. Det finns inga döda", skriver guvernör Vasilij Golubev på Telegram.
Även en annan robot ska ha skjutits ner i regionen, meddelar Moskva.
