Rebellerna tillhör folkgruppen karen, och enligt uppgift från myndighetspersoner angrep rebellerna armésoldater som höll sig gömda vid en strategiskt viktig bro över floden Moei mellan de två länderna.
Flykten från området inleddes redan på fredagen när strider utbröt och fortsatte under lördagens sammandrabbningar.
Den nyligen påtvingade reträtten för militärjuntans armé från staden ses som en seger för den väpnade motståndskampen.
Thailand varnar samtidigt för en växande flyktingskara från Myanmar. Thailands utrikesdepartement meddelar att humanitära stödinsatser till regionen ska utökas.
