Samtalen de två emellan har kretsat kring allt från geopolitik och affärer till personliga angelägenheter, enligt flera av tidningens ej namngivna källor i USA, Ryssland och Europa.
Kremls talesperson Dmitrij Peskov nekar till uppgifterna om de hemliga samtalen.
Missa inget viktigt, följ oss på Google— Det är osant alltihop, absolut falsk information som publicerats i tidningen, säger Kremls talesperson Dmitrij Peskov.
Han uppger att Putin vid ett tillfälle har talat i telefon med Musk före 2022.
— Det var ett faktasamtal. De pratade om mer visionär teknik, om teknik för framtiden.
Musk, som inte har kommenterat uppgifterna, kampanjar för närvarande med Donald Trump i dennes försök att bli USA:s näste president.
